Question

在等腰梯形ABCD中,AB‖DC,∠ABC=60°,AC平分∠DAB,E、F是对角线AC、BD的中点,且EF=a，求梯形ABCD的面积

Answer 1

连CF,并延长交AB于G,作高CH,
因为AB∥CD
所以∠DCF=∠BGF
∠CDF=∠GBF
又DF=BF
所以△CDF≌△GBF
所以CD=BG,CF=FG
因为CE=AE
所以EF是△ACG的中位线
所以EF=AG/2,
因为AG=AB-BG=AB-CD
所以EF=(AB-CD)/2,
即AB-CD=2a，
因为AC平分∠DAB
所以∠DAC=∠CAB=∠ABC/2=30,
因为AB∥CD
所以∠DCA=∠CAB
所以∠DCA=∠DAC
所以DA=DC
因为∠CAB=30,∠ABC=60
所以∠ACB=90,
所以BC=AB/2,
所以AD=CD=BC=AB/2
解得CD=2a,
在直角三角形CBH中，BC=2a，BH=a,解得CH=√3a，
所以梯形ABCD面积=(AB+CD)*CH/2=(4a+2a)*√3a/2=3√3a²

Answer 2

连CF,并延长交AB于G,作高CH,
因为AB∥CD
所以∠DCF=∠BGF
∠CDF=∠GBF
又DF=BF
所以△CDF≌△GBF
所以CD=BG,CF=FG
因为CE=AE
所以EF是△ACG的中位线
所以EF=AG/2,
因为AG=AB-BG=AB-CD
所以EF=(AB-CD)/2,
即AB-CD=2a，
因为AC平分∠DAB
所以∠DAC=∠CAB=∠ABC/2=30,
因为AB∥CD
所以∠DCA=∠CAB
所以∠DCA=∠DAC
所以DA=DC
因为∠CAB=30,∠ABC=60
所以∠ACB=90,
所以BC=AB/2,
所以AD=CD=BC=AB/2
解得CD=2a,
在直角三角形CBH中，BC=2a，BH=a,解得CH=√3a，
所以梯形ABCD面积=(AB+CD)*CH/2=(4a+2a)*√3a/2=3√3a²

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Answer 3

可以求得AD=DC=CB=1/2AB=2a;所以求得梯形面积为4√3a²