Question

已知函数f(x)=ex-ln(x+m),当m《=2时,证明f(x)>0

Answer 1

证明：
f(x)=e^x-ln(x+m)，x+m>0，x>-m
求导得：
f'(x)=e^x-1/(x+m)
令f'(x)=0，即e^x=1/(x+m)>0，假设x=a>-m满足e^a=1/(a+m)。
所以：a+m=e^(-a)

当-m<x<a时，f'(x)<0，f(x)是减函数；
当x>a时，f'(x)>0，f(x)是增函数。
所以：x=a>-m是f(x)的最小值点，f(x)>=f(a)=e^a-ln(a+m)
f(a)=e^a-ln(a+m)
=e^a-ln[e^(-a)]
=e^a+a
=e^a+e^(-a)-m
>=2-m
>=0
所以：f(x)>=f(a)>=0

严格意义上来说，m<=2时，应该是f(x)>=0；m<2时，f(x)>0。
题目存在不严谨的地方。

追问

谢了，我找到答案了。

追答

证明：
f(x)=ex-ln(x+m)，x+m>0，x>-m
求导得：
f'(x)=e-1/(x+m)
令f'(x)=0，即e=1/(x+m)>0，解得：x=1/e-m。

当-m1/e-m时，f'(x)>0，f(x)是增函数。
所以：x=1/e-m是f(x)的最小值点
f(x)>=f(1/e-m)
=e(1/e-m)-ln(1/e)
=1-em+1
=2-em

因为m<=2，f(x)最小值就不一定是大于0。因此我认为题目还应该是e的x次方，而不是e乘以x。