Question

如图在直角三角形ABC中∠ABC=90 CD⊥AB垂足为D 点E在AC上 BE交CD于点G EF⊥BE交AB于点F 若

如图在直角三角形ABC中∠ABC=90 CD⊥AB垂足为D 点E在AC上 BE交CD于点G
EF⊥BE交AB于点F 若AC=mBC CE=nAE(m，n为实数），探究EF与EG的数量关系
(1)m=1，n=1 EF与EG数量关系（2）m=1，n为任意实数，EF与EG数量关系
（3）当m，n均为任意实数，EF与EG数量关系

Answer 1

（1）EG=EF
【证明】过点E分别作EM垂直于AB，垂足为M；再过点E作EN垂直于CD，垂足为N
当m=1,n=1时，即AC=BC,CE=AE。三角形ABC为等腰直角三角形，角CAD=45度，CD垂直于AB，三角形ACD也为等腰直角三角形。
又点E为AC的中点，易证EM=EN，
又 角EFM+角EBF=90度，角EBF+角BGD=90度，
所以 角EFM=角BGD，
又 角BGD=角EGN
所以 角EFM=角EGN,
从而证明三角形EFM全等于三角形EGN。
故EG=EF.
（2）m=1，n为任意实数时，EF/EN=EM/EN=1/n.
【证明】m=1，n为任意实数时，即AC=BC,CE=nAE,三角形ABC为等腰直角三角形，
角CAD=45度，CD垂直于AB，三角形ACD也为等腰直角三角形。
由于CE=nAE，EM垂直于AB，则三角形AEM相似于三角形ACD，故EM/CD=AE/AC=1/(n+1);
同理由EM垂直于CD，则三角形ENC相似于三角形ADC，故EN/AD=CE/AC=n/(n+1);
由于AD=CD，由上述两式得： EM/EN=1/n。
同（1）中方法类似，有角EFM=角EGN，角EMF=角ENG=90度，三角形EFM相似于三角形EGN，
则EF/EN=EM/EN=1/n.
（3）当m，n均为任意实数，EF/EN=EM/EN=1/mn
【证明】当m，n均为任意实数，AC=mBC， CE=nAE
易证直角三角形ACD相似于直角三角形ABC，则AD/CD=AC/BC=m,
由（2）中证明有： EM/CD=AE/AC=1/(n+1)
EN/AD=CE/AC=n/(n+1)
联立这三个式子有：
EM/EN=1/mn
同理证三角形EFM相似于三角形EGN，
则EF/EN=EM/EN=1/mn.