Question

求教关于离散数学 群论

请问各位高手 ,有限群中,什么是群的阶,什么是群的基数呢,两者是不是都有同样的性质呢?

一个例子,
知道有限群G的基数是g,是不是对于任何的a属于G,都有a^g(a的g次方)=e(e为单位元)??

Answer 1

要注意两个不同的概念:

• 一个群的阶(order)就是该群的基数(cardinality). 对于有限群G来说，G的阶/基数|G|就是其所含所有元素的个数.

• 若g是有限群G的一个元素, n为最小自然数，且满足g^n=e, 则称n为元素g的阶(order). 一个由g生成的有限群的子群<g>={e, g, g^2,..., g^(n-1)}, 其阶/基数等于该元素g的阶.

  
  

  
  

问: 有限群G的基数是g,是不是对于任何的a属于G,都有a^g(a的g次方)=e(e为单位元)??

答: 不是.

若循环群G=<a>, 即G完全由a生成， 则该命题成立；其余情况下，则不成立.

Answer 2

是的
根据拉格朗日定理，有限群的元素的阶数是群的阶数的因子。

Answer 3

基数是集合中元素的个数;阶是群中元素个数,比如元素的阶是元素作为生成元生成的循环群的阶