Question

数学题 求证……

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是变AB、AD的中点，DE与CF相交于点G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点。求证（1）BM平行于GH （2）BM垂直于CF

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Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD
∴∠A=∠EBH=90° AD=BC
∵E是AB的中点
∴AE=BE
∵∠AED=∠BEH
∴△AED≌△BEH(ASA)
∴AD=BH
∴BC=BH 即点B为CH的中点
又点M为CG的中点
∴BM为△CGH的中位线
∴BM∥GH

（2）∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°
又∵点E、F分别是边AB、AD的中点
∴AE=1/2AB DF=1/2AD
∴AE=DF
∴△AED≌△DFC(SAS)
∴∠ADE=∠DCF
∵∠ADE+∠CDE=90°
∴∠DCF+∠CDE=90°
∴∠CGH=90°
∵BM∥GH
∴∠CMB=∠CGH=90°
∴BM⊥CF

Answer 2

（1）∵E为AB中点
∴AE＝BE
∵ABCD为正方形
∴∠A＝∠ABH＝Rt∠
∵∠AED＝∠BEH
∴△ADE≌△BEH
∴AD＝BH
∵AD＝BC
∴BH＝BC
且M为CG中点
∴MB为△MCH中位线
∴BM‖GH
（2）∵E,F为中点
且AD＝AB
∴EB＝FD
∵HB＝DC
且∠EBH＝∠FDC＝Rt∠
∴△EBH≌△FDC
∵∠EHB+∠HEB＝90°
∴∠DCF+∠DFC＝90°
∵∠MBC＝∠EHB
且∠DCH＝90°
∴∠MCB+∠MBC＝90°
∴∠BMC＝90°
∴BM⊥CF