Question

已知a1,a2,a3...an属于R，且a1*a2*a3*a4...*an=1,求证：(1+a1)*(1+a2)...*(1+an)>=2^n

RT ，急求 哥悬赏 速度

Answer 1

1+a1>=2*a1^(1/2)
1+a2>=2*a2^(1/2)
.
.
.
1+an>=2*an*(1/2)
有(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)>=2^n*(a1a2...an)^(1/2)=2^n;
特别的，a1=a2=...=an=1时，等号成立
满意谢谢采纳，给个“能解决+原创"！

Answer 2

用数学归纳法证明

当n=1时
左边=1+a1 右边=2^1=2
1+a1≥2
所以命题成立

所以假设n=k时命题成立

当n=k+1时
由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)（1+a2）(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k+1)
所以命题成立
所以 1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n