已知正项数列{an}满足a1=p(0<p<1)，且an+1 =an/(1+an)
已知正项数列{an}满足a1=p(0<p<1)，且an+1=an/(1+an)求证:a1/2+a2/3+a3/4+...+an/（n+1）<1...
已知正项数列{an}满足a1=p(0<p<1)，且an+1 =an/(1+an)
求证:a1/2+a2/3+a3/4+...+an/（n+1）<1 展开
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an+1 =an/(1+an)
1/an+1=(1/an)+1
故{1/an}是公差为1的等差数列
1/an=p+n-1
an=1/(p+n-1)
an/（n+1)=1/(n+1)(p+n-1)=[1/(n+p-1)-1/n+1]/2-p
a1/2+a2/3+a3/4+...+an/（n+1）=1/2-p(1/p-1/n+1)<1/(2-p)p<1
1/an+1=(1/an)+1
故{1/an}是公差为1的等差数列
1/an=p+n-1
an=1/(p+n-1)
an/（n+1)=1/(n+1)(p+n-1)=[1/(n+p-1)-1/n+1]/2-p
a1/2+a2/3+a3/4+...+an/（n+1）=1/2-p(1/p-1/n+1)<1/(2-p)p<1
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