Question

已知等差数列{an}的首项为a.记bn=(a1+a2+...+an) / n

1.求证{bn}是等差数列
2.已知{an}的前13项和与{bn}的前13项的和之比为3 : 2 求{bn}的公差

Answer 1

1.设等差数列a[n]的公差为d,则 a[1]+a[2]+...+a[n]=na+n(n-1)/2 *d
所以 b[n]=a+d(n-1)/2=dn/2+a-d/2
b[n+1]-b[n]=d(n+1)/2+a-d/2-(dn/2+a-d/2)=d/2
即 b[n]是以d/2为公差的等差数列
2.由1知 b[1]=a[1]=a,
故 b[n]的前n项和 T[n]=na+n(n-1)/2*d/2
记S[n]为a[n]的前n项和,则有 S[13]:T[13]=3:2
从而 (13a+13*6d)/(13a+13*3d)=3/2
解得 d=a/3

Answer 2

设an的公差为d
bn=(a1+a2+...+an) / n
=n(a1+an)/2n
=(a1+an)/2
bn-1=(a1+an-1)/2
bn-bn-1=(an-an-1)/2=d/2
所以为等差数列