Question

已知线段AB的端点B的坐标是(0,4),端点A在圆(x+1)^2+y^2=4上运动.求线段AB 的中点M的轨道方程

Answer 1

解法1：
设：端点A的坐标是(a，b)
依题意和已知，有：
(a+1)²+b²=4
由此得：b=±√[4-(a+1)²]
即：b=±√(3-a²-2a)
可知，满足题目条件的A点有两个，分别是A1(a，√(3-a²-2a))和A2(a，-√(3-a²-2a))
由于A在圆上运动，故：可以只考虑A1、A2中的任一个。以下只考虑A1的情况。
设：A和B的中点M是(x，y)
由中点坐标，有：
x=(a+0)/2=a/2…………………………(1)
y=[4+√(3-a²-2a)]/2……………………(2)
由(1)：a=2x……………………………(3)
由(2)：2y-4=√(3-a²-2a)
有：4y²-16y+16=3-a²-2a
4y²-16y+13=-a²-2a
将(3)代入，有：
4y²-16y+13=-(2x)²-2×(2x)
4y²-16y+13=-4x²-4x
4x²+4x+4y²-16y+13=0
x²+x+y²-4y+13/4=0
x²+2×(1/2)×x+(1/2)²+y²-2×2×y+2²-(1/2)²-2²+13/4=0
(x+1/2)²+(y-2)²=1/4+4-13/4
(x+1/2)²+(y-2)²=1
此即为所求AB中点M的轨迹方程。

解法2：
设：A点坐标为(a，b)，M坐标为(x，y)
已知：B点(0，4)
由于M是AB中点，
因此，有：
x=a/2……………………(1)
y=(4+b)/2………………(2)
由(1)得：a=2x
由(2)得：b=2y-4
因为：A在圆上，
所以，有：
[(2x)+1]²+(2y-4)²=4
4(x+1/2)²+4(y-2)²=4
(x+1/2)²+(y-2)²=1
此即为所求中点M的轨迹方程。

Answer 2

设M(x,y) A(x1,y1)
则 x=x1/2 x1=2x
y=(y1+4)/2 y1=2y-4
(2x+1)^2+(2y-4)^2=4
中点M的轨道方程为：(x+1/2)^2+(y-2)^2=1