Question

如图,在三角形ABC中,点E是角ABC,角ACB角平分线的交点,点F是角ABC,角ACB外角平分线的交点

点A1是内角角ABC外角角ACD平分线的交点。
探究：角BEC和角BFC满足何种数量关系。

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Answer 1

如图，在△ABC中，∠A＝60°，点E是两条内角平分线，点F是两条外角平分线，点A1是内角∠ABC，外角∠ACD平分线的交点

（1）求∠A1EC的度数

（2）求∠BFC的度数

（3）探索∠A1与A的数量关系，并说明理由

  (4)若∠A=100°，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，以此类推，∠AnBC与∠AnCD的平分线交于点An，求∠An的度数

求详细过程

 

1、∠A1EC=60度
因∠A＝60°
∠ABC+∠ACB=120
BE、CE为平分线；
所∠A1EC=∠EBC+∠ECB=60(三角形外角等于两不相邻内角和）

2、∠BFC=60
因∠ABC+∠ACB=120
BF CF是平分线
∠FBC+∠FCB=120
所∠F=60

3、∠A1是∠A的一半，也就是∠A1=30
因：
∠A1EC=60
∠ACB+∠ACD=180
CE CA1是平分线
∠A1CE=1/2∠BCD=90
所以∠A1=30

4、若∠A=100
则∠ACD-∠ABC=∠A=100
  1/2 ∠ACD-1/2∠ABC=∠A1=50
1/4∠ACD-1/4∠ABC=∠A2=25
1/8∠ACD-1/8∠ABC=∠A3=12.5
。。。。。。
以此类推：
（1/2）的n次方x∠ACD-(1/2)n次方x∠ABC=∠An=（1/2)n X100（n表示乘方）
 

Answer 2

解：
（1）
因为BE平分∠ABC，
所以∠EBC＝∠ABC/2
同理∠ECB＝∠ACB/2
因为∠EBC＋∠ECB＋∠BEC＝180°
所以∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB
＝180－(∠ABC＋∠ACB)/2
又因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
所以∠BEC＝180°－(180°－∠A)/2
即∠BEC＝90°＋∠A/2
（2）
如图，根据三角形内角和性质得：
∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
∠BFC＝180°－(∠CBF＋∠BCF)
因为BF、CF为∠ABC，∠ACB的外角∠MBC和∠NCB的平分线
所以∠MBF＝∠CBF＝∠CBM/2
∠BCF＝NCF＝∠BCN/2
所以∠BFC＝180°－(∠CBF＋∠BCF)
＝180°－(∠CBM/2＋∠BCN/2)
＝180°－(∠CBM＋∠BCN)/2
因为∠CBM＝180°－∠ABC，∠BCN＝180°－∠ACB
所以∠BFC＝180°－(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)/2
＝(∠ABC＋∠ACB)/2
＝(180°－∠A)/2
即∠BFC＝90°－∠A/2

由上知：
∠BEC＋∠BFC＝90°＋∠A/2＋90°－∠A/2＝180°
所以∠BEC＋∠BFC的度数不变化。∠BEC＋∠BFC的值是180°

Answer 3

因为内外角平分线互相垂直，所以∠EBF=∠ECF=90°
所以∠BEC+∠BFC=180°

Answer 4

∠EBF=∠ECF=90°
∴∠BEC+∠BFC=180°