Question

二元函数方向导数问题求解

f(x,y) = ln(x^2+y^2)
求出 f在(-1,2),方向为v向量=(3,-4),的方向导数
找出使得f在(1,1)时增长最快的方向,并求出该增长速率.
求出水平集f(x,y)=ln2在点(1,1)的切线方程

Answer 1

ðf/ðx=2x/(x^2+y^2)=-2/5，ðf/ðy=2y/(x^2+y^2)=4/5，cosα=3/5。cosβ=-4/5，所以方向导数
=ðf/ðx*cosα+ðf/ðy*cosβ=-22/25，在（1,1）点梯度=(ðf/ðx,ðf/ðy)=(1,1)，故增长最快方向为向量(1,1)方向，增长速率=梯度的模=√2。曲线方程为y-1=√2(x-1)，即y=√2x+1-√2。