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解:(1)小题,令cos²xdy/dx+y=0,∴dy/y=-sec²xdx。两边积分,∴ln丨y丨=-tanx+C1。∴其齐次方程的通解为,y=ce^(-tanx)。
∴设y=v(x)e^(-tanx),代入原方程,经整理,有v'(x)=sec²xtanxe^(-tanx)。
∴v(x)=∫sec²xtanxe^(tanx)dx=(tanx-1)e^(tanx)+C。∴其通解为,y=tanx-1+Ce^(-tanx)。
(2)小题,令dy/dx=-2xy。∴dy/y=-2xdx。两边积分,∴ln丨y丨=-x²+C1。∴其齐次方程的通解为,y=ce^(-x²)。
∴设y=v(x)e^(-x²),代入原方程,经整理,有v'(x)=2x。∴v(x)=∫2xdx=x²+C。
∴其通解为,y=(x²+C)e^(-x²)。
供参考。
∴设y=v(x)e^(-tanx),代入原方程,经整理,有v'(x)=sec²xtanxe^(-tanx)。
∴v(x)=∫sec²xtanxe^(tanx)dx=(tanx-1)e^(tanx)+C。∴其通解为,y=tanx-1+Ce^(-tanx)。
(2)小题,令dy/dx=-2xy。∴dy/y=-2xdx。两边积分,∴ln丨y丨=-x²+C1。∴其齐次方程的通解为,y=ce^(-x²)。
∴设y=v(x)e^(-x²),代入原方程,经整理,有v'(x)=2x。∴v(x)=∫2xdx=x²+C。
∴其通解为,y=(x²+C)e^(-x²)。
供参考。
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(1)
∵(cosx)^2·dy/dx+y=tanx,∴(cosx)^2·dy/dx=tanx-y。
令tanx-y=u,则:y=tanx-u,∴dy/dx=1/(cosx)^2-du/dx,
∴(cosx)^2·[1/(cosx)^2-du/dx]=u,
∴1-(cosx)^2·du/dx=u,∴1-u=(cosx)^2·du/dx,
∴[1/(cosx)^2]dx=[1/(1-u)]du,∴d(tanx)=-d(ln|1-u|),
∴tanx=-ln|1-u|+C=-ln|1-(tanx-y)|+C=C-ln|1+y-tanx|。
∴原微分方程的通解是:tanx=C-ln|1+y-tanx|。
------
(2)
∵dy/dx=-2xy+2xe^(-x^2),
∴dy/[(-2x)dx]=y-e^(-x^2),
∴dy/d(-x^2)=y-e^(-x^2)。
令-x^2=u,则有:dy/du=y-e^u,∴dy/[(e^u)du]=y/e^u-1,
∴dy/d(e^u)=y/e^u-1。
令e^u=t,则有:dy/dt=y/t-1。
再令y/t=w,则y=wt,∴dy/dt=w+tdw/dt=w-1,∴tdw/dt=-1,∴dw=-(1/t)dt,
∴w=-ln|t|+C,∴y/t=-ln|t|+C,∴y/e^u=-ln|e^u|+C=-u+C,
∴y/[e^(-x^2)]=-(-x^2)+C=C+x^2,
∴y=(C+x^2)e^(-x^2)。
∴原微分方程的通解是:y=(C+x^2)e^(-x^2)。
∵(cosx)^2·dy/dx+y=tanx,∴(cosx)^2·dy/dx=tanx-y。
令tanx-y=u,则:y=tanx-u,∴dy/dx=1/(cosx)^2-du/dx,
∴(cosx)^2·[1/(cosx)^2-du/dx]=u,
∴1-(cosx)^2·du/dx=u,∴1-u=(cosx)^2·du/dx,
∴[1/(cosx)^2]dx=[1/(1-u)]du,∴d(tanx)=-d(ln|1-u|),
∴tanx=-ln|1-u|+C=-ln|1-(tanx-y)|+C=C-ln|1+y-tanx|。
∴原微分方程的通解是:tanx=C-ln|1+y-tanx|。
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(2)
∵dy/dx=-2xy+2xe^(-x^2),
∴dy/[(-2x)dx]=y-e^(-x^2),
∴dy/d(-x^2)=y-e^(-x^2)。
令-x^2=u,则有:dy/du=y-e^u,∴dy/[(e^u)du]=y/e^u-1,
∴dy/d(e^u)=y/e^u-1。
令e^u=t,则有:dy/dt=y/t-1。
再令y/t=w,则y=wt,∴dy/dt=w+tdw/dt=w-1,∴tdw/dt=-1,∴dw=-(1/t)dt,
∴w=-ln|t|+C,∴y/t=-ln|t|+C,∴y/e^u=-ln|e^u|+C=-u+C,
∴y/[e^(-x^2)]=-(-x^2)+C=C+x^2,
∴y=(C+x^2)e^(-x^2)。
∴原微分方程的通解是:y=(C+x^2)e^(-x^2)。
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