Question

如图,分别以△ABC的边AB,AC向行外做等边△ABD和等边△ACE,连接CD,BE交于点F.

⑵如果∠BAC=90°，∠ACB=30°，则图中那个三角形与△BCP相似，并给出证明。
⑶在⑵的条件下，试求BC／CD的值。

Answer 1

解：
(2) 此时△DCB∽△BCP。
∵△ABD、△ACE都是等边三角形
∴AD＝AB、AC＝AE、∠DAB＝∠CAE，
从而 ∠DAB＋∠BAC＝∠BAC＋∠CAE，∴∠ADC＝∠BAE。
由 AD＝AB,AC＝AE,∠ADC＝∠BAE 得 △DAC≌△BAE
从而 ∠ADP＝∠ABP、∠ACP＝∠AEP，
∴A、D、B、P共圆，A、E、C、P共圆
∴∠APD＝∠ABD,∠APE＝∠ACE。
又 △ABD,△ACE都是等边三角形
∴∠ABD＝∠ACE＝60°
从而 ∠DPE＝∠APD＋∠APE＝∠ABD＋∠ACE＝60°＋60°＝120°，∴∠BPC＝120°
∵∠BAC＝90°,∠ACB＝30°
∴∠ABC＝60°
则 ∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝60°＋60°＝120°
由∠DBC＝∠BPC＝120°∠DCB＝∠BCP
得到 △DCB∽△BPC

(3)
过D作DE⊥CB交CB的延长线于E
∵∠BAC＝90°,∠ACB＝30°
从而 AB＝BC/2。
又△ABD是等边三角形
∴BD＝AB＝BC/2。
而 ∠DBC＝120°
则 ∠DBE＝60°
从 而∠DEB＝90°，
因此 BE＝BD/2＝BC/4,DE＝（√3/2）BD＝（√3/4）BC
CE＝BC＋BE＝BC＋BC/4＝（5/4）BC
CD＝√（DE^2＋CE^2）＝√［（3/16）BC^2＋（25/16）BC^2］＝（√7/2）BC，
∴BC/CD＝2/√7