Question

已知三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,△ADB是等边三角形且DE⊥AC交AC的延长线于点E

①当带你C在△ADB内部时，求证：DE=CE.
②当点C在△ADB外部，DE=CE关系是否成立？如不成立，说明理由；如成立，请证明

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Answer 1

∵ΔABD是等边三角形，∴∠DAB=∠ADB=60°，

∵ΔABC是等腰直角三角形，∴∠DAC=15°，

易得ΔDCA≌ΔDCB，∴∠ADC=1/2∠ADB=30°，

∴∠DCE=∠DAC+∠ADC=45°，

又∠E=90°，

∴ΔCDE是等腰直角三角形，

∴DE=CE。

在四边形BCED中，∠C=∠D=90°，∠DBC=60°+45°=105°，

∴∠BDE=360°-(90°×2+105°)=75°，

连接CD，易得ΔCDA≌ΔCDB，∴∠DCA=1/2∠ACB=45°，

∠CDB=1/2∠ADB=30°，∴∠CDE=∠BDE-∠CDB=45°，

∴ΔCDE是等腰直角三角形，

∴CE=DE。

Answer 2

1）据题意得：AC=BC,∠BAC=∠ABC=45°AD=BD.∠ADB=∠BAD=∠ABD=60°.
∴⊿ACD≌⊿BCD.
∴∠ADC=∠BDC=30°.
∵∠CAD=60°-45°=15°.
∴∠DCE=∠ADC+∠CAD=30°+15°=45°.
∵DE⊥AV.
∴∠CDE=180°-∠90°-45°=45°.
∴∠CDE=∠DCE
∴DE=CE
2)取AB的中点F,连接CF,DF.
∵AC=BC,AD=BD.
∴CF⊥AB,DF⊥AB.
∴C,F,D三点一线。
∵∠ACB=∠E=90°.
∴∠ACD=45°,∠CDE=180°-90°-45°=45°.
∴∠ACD=∠CDE.
∴DE=CE