Question

已知数列的通项公式为an=(2n-1)4^(n-1)，求数列{an}的前项和Sn为多少

Answer 1

等差数列用颠倒相加就可以，因为每一组所加的结果都是相同的，典型例子是从1加到50
等比数列是用公比乘以S然后再减去S从而进行消项，消除的是中间项，在解关于S的一元方程即可，此时视n为已知数，但不是具体数值。典型例子首项为1，公比为2的等比数列
本题为等差乘以等比的类型
所以要进行转化为等比或等差进行计算。
在等比数列计算时，中间消除项也可以看成一个常数乘以等比数列即0*（以2为首项，以2为等比的前n项和） 设想是否也可以找到这种关系，即常数乘以一个等比数列呢
根据等差数列的性质可知，相邻两项的差是一个定值。所以只要将等比数列的部分向后移一项在进行相减，即可得到所需类型：常数乘以一个等比数列
到此再分两步走，第一步：求出所需类型中等比数列的和，不一定都是n项，要具体分析，这也也是数列考题的一大考点，考的就是你是否粗枝大叶。
第二步：将所求结果带入所需类型中，解关于S的一元方程即可得结果。
具体做法推荐数学高级教师良驹老师的解题过程。

Answer 2

解：
an=(2n-1)*4^(n-1)
Sn=1+3*4¹+5*4²+7*4³+9*4⁴+.......(2n-3)*4ⁿ⁻²+(2n-1)*4ⁿ⁻¹ . ..............(1)
4Sn =4¹+3*4²+5*4³+7*4⁴9*4⁵+.........(2n-3)*4ⁿ⁻¹+(2n-1)*4ⁿ..................(2)
(1)-(2)得
-3S‹n›=1+2(4¹+4²+4³+4⁴+4⁵+..........+4ⁿ⁻¹)-(2n-1)*4ⁿ
=1+2[4(4ⁿ⁻¹-1)]/3-(2n-1)*4ⁿ
=1+(2/3)(4ⁿ-4)-(2n-1)*4ⁿ
=-(2n-5/3)4ⁿ-5/3
于是Sn=(1/3)*(2n-5/3)*4ⁿ+5/9

这是典型的错位相消法求数列和的问题.具体是将和式Sn的两边同乘以公q后，再将两式相减(注意是错位减!),就可转化为一个等比数列的求和问题了,

Answer 3

S(n)=1＋3×4＋5×4²＋7×4³＋…＋(2n－1)×4^(n－1)
则：
4S(n)==1×4＋3×4²＋5×4³＋…＋(2n－3)×4^(n－1)＋(2n－1)×4^(n)
两式相减，得：
－3S(n)=1＋2×4＋2×4²＋2×4³＋…＋2×4^(n－1)－(2n－1)×4^(n)
－3S(n)=1＋2×[4－4^(n)]/[1－4]－(2n－1)×4^(n)
－3S(n)=－(5/3)－[(6n－5)/3]×4^(n)
则：
S(n)=(5/9)＋[(6n－5)/9]×4^(n)

Answer 4

Sn=a1+a2+a3+a4...+an
Sn=1*4^0+3*4^1+5*4^2+7*4^3+.........+(2n-1)*4^(n-1)
4Sn=1*4^1+3*4^2+5*4^3+7*4^4+...+(2n-3)*4^(n-1)+(2n-1)*4^n
Sn-4Sn=1*4^0+2*4^1+2*4^2+2*4^3+2*4^4...+2*4^(n-1)-(2n-1)*4^n
其中：2*4^1+2*4^2+2*4^3+2*4^4...+2*4^(n-1)=8*[4^(n-1)-1]/(4-1)=(2*4^n-8)/3
-3Sn=1+(2*4^n-8)/3-(2n-1)*4^n=(-2n+5/3)*4^n-5/3
Sn=(2n/3-5/9)*4^n+5/9

Answer 5

对于等差比数列，裂项相消(×公比后相减)
Sn=1*4^0+3*4^1+5*4^2+......+(2n-3)4^(n-2)+(2n-1)4^(n-1) ①
4Sn= 1*4^1+3*4^2+......+(2n-5)4^(n-2)+(2n-3)4^(n-1)+(2n-1)4^n ②
①-②：-3Sn=1*4^0+2*4^1+2*4^2+......+2*4^(n-2)+2*4^(n-1)-(2n-1)4^n
=1*4^0+2*4(1-4^（n-1))/(1-4)-(2n-1)4^n
Sn=（2n/3-5/9）4^n+5/9