Question

相似难题

如图,△ABC中,已知AC=BC,角C=20°,D、E分别是BC、AC上的点,若角CAD=20°,角CBE=30°,求角ADE的大小

Answer 1

30°，证明要用到三角公式。现证明如下：先证明一个三角公式：
 2Cos20°=(1-2Sin10°)/4Sin10°      （1）
证明如下：
Sin30°-Sin10°=Sin(20°+10°)-Sin(20°-10°)
=Sin20°Cos10°+ Cos20°Sin10°-Sin20°Cos10°+Cos20°Sin10°
=2Cos20°Sin10°
所以4Sin10°Cos20°=2*(Sin30°-Sin10°)
=2*(1/2-Sin10°)
=1-2Sin10°
从而有：2Cos20°=(1-2Sin10°)/4Sin10°
再来证明本题：
先证 △CEB相似于△AED
易知有：DC=DA、AE=AB，记CA=CB=a，
则 AE=AB=2aSin10°,CE=a-2aSin10°,AD=CD=a/(2Cos20°)
在 △CEB与△AED中
∠BCE=∠DAE=20°
CB:AD=CB:CD=a:(a/2Cos20°)=2Cos20°
CE:AE=(a-2aSin10°):2aSin10°=(1-2Sin10°)/2Sin10°
由（1）式立知：CB:AD=CE:AE
所以△CEB相似于△AED
从而∠ADE=∠CBE=30°

追问

帅哥，给你说了，相似难题，不是三角函数题

追答

不通过三角函数
我也证不出来

追问

但是，却有其解，老师说的

追答

在三角形CAB内部作∠BAF＝20°，AF与CB交于F
因为CA＝CB，∠C＝20°
所以∠CAB＝∠CBA＝∠ABF＝80°
所以∠AFB＝80°
所以∠AFB＝∠ABF
所以AB＝AF
所以∠EAF＝60°
因为∠EBA＝50°
所以∠BEA＝50°
所以∠EBA＝∠BEA
所以AB＝AE
所以AE＝AF
所以△AEF是等边三角形
所以AF＝EF，∠AFE＝60°
所以∠DFE＝40°
因为∠DAF＝60°－20°＝40°，∠AFD＝100°
所以∠ADF＝40°
所以∠ADF＝∠DAF
所以AF＝DF
所以DF＝EF
所以∠EDF＝∠DEF＝70°
所以∠ADE＝70°－40°＝30°