Question

在△ABC中，以AB为直径的圆O交AC于点M，弦MN平行于BC交AB于点E，且ME=1，AM=2

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，
（1）求证BC是⊙O的切线；
（2）求的长.

Answer 1

请完善题目：

1. 连接BM,则∠CMB=90°。∠CBM=∠BAC。由题意可知角C=∠AME,∠ABC=∠AEM

   ∴△AMB∽△BMC

   ∴∠ABC=∠AEM=∠CMB=90°。

   ∵AB是⊙O的直径，

   ∴BC是⊙O的切线。

Answer 2

（1）证明：∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME2+AE2=AM2=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM． 1
在Rt△AEM中，sinA=---
2
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴=，EN=EM=1，
∴∠BOM=2∠A=60°．
在Rt△OEM中，sin∠EOM=，∴OM=，

∴的长度是：•=．