Question

高中数学题求解 在线等

已知圆p与x轴所截得的长为2倍的根号2，与y轴所截得的长为2倍的根号3。1求圆心p的轨迹方程；2圆心p到y=x的距离为2分之根号2，求圆P的方程。
好多符号不知道怎么打，辛苦大家了，具体题目可看图片

Answer 1

1、由题意设圆心坐标为（x，y），半径为r
那么圆心到x轴的距离为|y|，圆心到y轴的距离为|x|
则由垂径定理列方程组得：
{ (根号2)²+|y|²=r²
{ (根号3)²+|x|²=r²
两式相减即得：2+y²-(3+x²)=0
所以：y²-x²=1
这就是所求圆心P的轨迹方程，它表示以原点为中心，焦点在y轴上的等轴双曲线。
2、若圆心P(x,y)到直线y=x即x-y=0的距离为2分之根号2，则由点到直线的距离公式可得：
d=|x-y|/根号2=2分之根号2
即得：|x-y|=1
由第1小题可知(x,y)满足方程y²-x²=1即(y-x)(y+x)=1
所以当x-y=1即y-x=-1时，可得y+x=-1，易解得：y=-1，x=0，
此时r²=2+1=3，圆方程可写为：x²+(y+1)²=3；
当x-y=-1即y-x=1时，可得y+x=1，易解得：y=1，x=0，
此时r²=2+1=3，圆方程可写为：x²+(y-1)²=3
所以圆P的方程为：x²+(y+1)²=3或x²+(y-1)²=3。

Answer 2

答：
（1）
设圆心P为（a，b），圆半径R：

(x-a)²+(y-b)²=R²
令y=0，解得：x=a±√(R²-b²)
令x=0，解得：y=b±√(R²-a²)
依据题意知道：
x2-x1=2√(R²-b²)=2√2，R²-b²=2
y2-y1=2√(R²-a²)=2√3，R²-a²=3
所以：R²=2+b²=3+a²
所以：b²-a²=1
所以：圆心P的轨迹方程为y²-x²=1

（2）P(x,y)的轨迹为y²-x²=1，点P到直线y=x即x-y=0的距离：
|x-y|/√2=√2/2
所以：|x-y|=1，x-y=1或者x-y=-1
联立y²-x²=1解得：x=0，y=-1或者y=1
所以：圆心P为（0,1）或者（0，-1）
R²=a²+3=3
所以圆P的方程为：
x²+(y-1)²=3
或者：
x²+(y+1)²=3

Answer 3

设圆心P的坐标（x，y)，
（1）则圆心到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，已知圆p与x轴所截得的长为2倍的根号2，与y轴所截得的长为2倍的根号3，所以（根号2)^2+|y|^2=（根号3)^2+|x|^2，整理得y^2-x^2=1，即圆心P的轨迹方程为y^2-x^2=1；
（2）圆心p到y=x的距离为2分之根号2，所以可得（|x-y|)/根号2=2分之根号2
，所以可得此时圆心P的轨迹方程为|x-y|=1；
如果是求圆的方程，则可联立y^2-x^2=1与|x-y|=1，求出圆心坐标为（0，-1）此时半径由（1）可求得为根号3，或者圆心为（0,1），半径为根号3，所以所求圆的方程为x^2+(y+1)^2=3或x^2+(y-1)^2=3