Question

已知函数f (x)=e^xsinx,对任意的x∈[0,π/2],都有f(x)>=kx成立,求k的取值范围

Answer 1

设g（x)=e^x sinx －kx, g(0)=0
g’(x)=√2 e^x sin(x+45) －k,若使题中不等式成立，只需g’(x)>=0①;
而h(x)=e^x sin(x+45)的导函数h’(x)=√2 e^x sin(x+90)在【0，π】上恒有h’(x)>0
则g’(x)的最小值为g’(0)=1－k②
由①②得k的取值范围为k<=1

Answer 2

令g(x)=f(x)-kx=e^x*sinx-kx
欲使f(x)≥kx在x∈[0,π/2]上成立
即使g(x)≥0在x∈[0,π/2]上成立
∵g(0)=0，∴只需使g'(x)≥0在x∈[0,π/2]上成立即可
g'(x)=e^x*(sinx-cosx)-k≥0
则k≤e^x*(sinx-cosx)=e^x*√2sin(x-π/4)
∵e^x和sin(x-π/4)在x∈[0,π/2]上均为单增函数
∴-1≤e^x*√2sin(x-π/4)≤e^(π/2)
∴k的取值范围为k≤-1