Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM，垂足为E，交BC于点D，求证;∠1=∠2

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Answer 1

证明：作CF⊥AC交AD于F
在△ABM，△CAF中
AE⊥BM ∴∠1同时和∠ABM，∠CAF互余 ，
∠ABM=∠CAF，AB=CA，∠BAM=∠ACF=90°
△ABM≌△CAF
∴AM=CF=CM，∠AMB=∠CFD=∠1
在△CDM，△CDF中
DC=DC ，CM=CF，∠MCD=∠FCD=45°
∴ △CDM≌△CDF
∴∠CMD =∠CFD，∠CMD= ∠2=∠CFD
又∠AMB=∠CFD=∠1
∴∠AMB=∠CMD，也就是;∠1=∠2

Answer 2

作CF⊥CA交AD的延长线于F，易知△ACF≌△BAM，得：∠AFC=∠1、CF=AM=CM.
因CM=CF、∠MCD=∠FCD=45°、CD为共同边，故△MCD≌△FCD，得：∠DFC=∠2.
所以：∠1=∠2 。