Question

如图，有一张面积为3的正方形纸片ABCD，M,N分别是AD，BC边的中点，将点C折叠至MN上，落在点P的位置，折痕

如图，有一张面积为3的正方形纸片ABCD，M,N分别是AD，BC边的中点，将点C折叠至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ,连结PQ，则PQ=
用连接pc的方法。首先证明△PBC是等边三角形

Answer 1

设BQ交PC于点E

因为正方形的面积是1，所以边长是1

因为M、N分别是AD、BC的中点，所以MN⊥BC，MN平分BC

因为点C沿BQ折叠后落到点P位置，所以BP=BC，∠QPC=∠QCP，∠BEP=∠BEC=90°

因为点P在MN上，MN垂直平分BC，所以BP=CP

所以BP=CP=BC=1，△BPC是等边三角形，所以∠BCP=60°，PE=0.5

因为正方形ABCD中∠BCD=90°，所以∠QCP=∠BCD－∠BCP=∠90°-60°=30°

所以∠QPC=∠QCP=30°

在Rt△PQE中，∠QPC=30°，所以PQ=2QE，由勾股定理可得

PQ的平方=QE的平方+PE的平方，即

（2QE）的平方=QE的平方+0.5的平方

所以QE的平方=12分之1

所以QE=6分之（根号3）

所以PQ=2QE=3分之（根号3）

Answer 2

根据对折关系，BP=BC, PQ=CQ, PC⊥BQ ,∠PBQ=∠CBQ,∠PQB=∠CQB.

MN垂直平分△PBC的边BC，且过顶点P，

所以PB=PC,

又知BP=BC，

所以△PBC为等边三角形。

所以∠PBC=pi/3,  ∠PBQ=∠CBQ=(1/2)∠PBC=pi/6,

所以CQ=BC tan∠CBQ

            =BC tan(pi/6),

            =[sqrt(3)/3] BC .

BC=sqtr(3),

所以CQ=[sqrt(3)/3] BC

            =[sqrt(3)/3]  sqtr(3)

            =1.

又 PQ=CQ，

所以 PQ=1.

Answer 3

使用高固定了，Pq=1