Question

已知a=(cosa,sina),b=(cosB,sinB),0<B<a<派。(1)若|a-b|=根号2，求证：a垂直于b;(2)设c=(0,1)若a+b=c,...

已知a=(cosa,sina),b=(cosB,sinB),0<B<a<派。(1)若|a-b|=根号2，求证：a垂直于b;(2)设c=(0,1)若a+b=c,求a,B的值。

Answer 1

(1)|a-b|^2=(cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2=2
所以(cosa)^2+(cosb)^2-2cosacosb+(sina)^2+(sinb)^2-2sinasinb=2
所以sinasinb+cosacosb=0
因为a*b=cosacosb+sinasinb=0, 所以a垂直b
(2)a+b=(cosa+cosb, sina+sinb)=c=(0,1)
所以cosa+cosb=0, sina+sinb=1
第一个式子平方加上第二个式子平方，得到2cosacosb+2sinasinb+2=1
cosacosb+sinasinb=cos(a-b)=-1/2
因为0<B<a<派，所以a-b=2派/3
cos(b+2派/3)+cosb=0
所以(-1/2)cosb-(根号3/2)sinb+cosb=0
所以(1/2)cosb=(根号3/2)sinb
所以b=派/6 , a=5派/6

Answer 2

(1)a-b=(cosa-cosB,sina-sinB)
|a-b|^2=(cosa-cosB)^2+(sina-sinB)^2=(cosa)^2-2cosacosB+(cosB)^2+(sina)^2-2sinasinB+(sinB)^2

=2-2(cosacosB+sinasinB)
=2-2向量a*向量b
=2
故有:向量a*b=0
即a垂直于b
(2)a+b=(cosa+cosB,sina+sinB)=(0,1)
故有cosa+cosB=0,cosB=-cosa
sina+sinB=1,sinB=1-sina
(-cosa)^2+(1-sina)^2=1
cos^2a+1-2sina+sin^2a=1
sina=1/2
sinB=1/2
因为0<B<a<Pai
故有B=Pai/6,a=5Pai/6

此题目是今年江苏的高考题目吧

Answer 3

两个点也可以互相垂直么？