Question

一道高数选择题求助 BD选项求解，B答案说那是偏导数存在，请问连续怎么表示，，

Answer 1

为了能把问题说清楚，本回答篇幅长一些。需要弄懂的朋友请耐心细读。
设ρ＝√[(Δx)^2+(Δy)^2].解答此题有三个知识点要清楚：
1.lim(x→0,y→0) f(x,y)＝A存在⇆f(x,y)＝A+α，①
其中lim(x→0,y→0) α＝0.或写成lim(ρ→0)α＝0，其中ρ＝√(x^2+y^2).
2.f(x,y)在点(0,0)连续⇆lim(x→0,y→0)f(x,y)＝f(0,0).由①有
f(x,y)在点(0,0)连续⇆f(x,y)＝f(0,0)+α，②
其中lim(x→0,y→0)α＝0.或写成lim(ρ→0)α＝0.
3.z＝f(x,y)在点(a,b)可微⇆存在常数A与B，使得函数的全增量Δz＝AΔx+BΔy+ο(ρ)，其中ο(ρ)当ρ→0时是关于ρ的高阶无穷小，即lim(ρ→0)ο(ρ)/ρ＝0，ρ＝√[(Δx)^2+(Δy)^2].
特别地，考虑函数f(x,y)在点(0,0)的可微性时，全增量Δz＝f(x,y)-f(0,0)，Δx＝x，Δy＝y. 有
f(x,y)在点(0,0)可微⇆存在常数A与B，使得
f(x,y)-f(0,0)＝Ax+By+ο(ρ) ③
其中ρ＝√(x^2+y^2)，lim(ρ→0)ο(ρ)/ρ＝0.
以下来回答原题：
A.设lim(x→0,y→0)f(x,y)/(|x|+|y|)＝L.则由①，有
f(x,y)/(|x|+|y|)＝L+α，其中lim(ρ→0)α＝0.
⥤f(x,y)＝L(|x|+|y|)+α(|x|+|y|)
⥤ f(x,y)-f(0,0)＝L|x|+L|y|+[α(|x|+|y|)-f(0,0)]. ④
将④与③比较，容易看出此时f(x,y)在(0,0)不可微（因为且不说④右端x、y都带绝对值，右端最后一项在f(0,0)≠0时也不是ρ的高阶无穷小！）。A不对。
B.此时只需在上述对A的讨论中将|x|+|y|换成√(x^2+y^2)，得到相应于④的下式
f(x,y)-f(0,0)＝L√(x^2+y^2)+[α√(x^2+y^2)-f(0,0)]. ⑤
由于⑤并不能保证全增量Δz＝f(x,y)-f(0,0)可以写成线性主部Ax+By与一个高阶无穷小的形式，所以不能保证f(x,y)在点(0,0)可微。B不对。
C.由f(x,y)在(0,0)可微，有
f(x,y)＝Ax+By+ο(ρ). ⑥
上式两边同除以|x|+|y|，得
f(x,y)/(|x|+|y|)＝A* x/(|x|+|y|)+B* y/(|x|+|y|)+ο(ρ)/(|x|+|y|)
易见上式右端当(x,y)→(0,0)时极限不存在（因为当(x,y)沿着特殊路径直线y＝x趋于(0,0)时，右端第一项成为A*x/(2|x|）显然不存在极限！)。C不对。
D.在⑥两端同除以x^2+y^2，得
f(x,y)/(x^2+y^2)＝A* x/(x^2+y^2)+B* y/(x^2+y^2)+ο(ρ)/(x^2+y^2).
由于上式右端最后一项当(x,y)→(0,0)时未必存在极限（比如当ο(ρ)是ρ的3/2阶无穷小时，其极限就是无穷，因为分母是ρ的2阶无穷小！），所以D也不对！

追答

回答中有一处需更正：
B的最后部分“线性主部Ax+By与一个高阶无穷小的形式”中“的形式”前应加上“之和”两个字