Question

这题为什么数列Xn单调递减？又为什么Xn>0，limXn就存在了？

Answer 1

本体是利用单调有界定理来证明数列极限存在的。

定理：单调有界数列必有极限。

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所以现在要证明两个事情，第一，数列{xn}单调；第二，数列{xn}有界

(1)单调性

因为当Xn>0时，X(n+1)>0，

又X0>0

所以对于任意的n有Xn>0

故利用均值不等式，对任意的n都有

X(n+1)=Xn/2+2/Xn≥2√(Xn/2 * 2/Xn)=2

另一方面，对任意的n都有

X(n+1)-Xn=(4-(Xn)²)/(2Xn)

因为Xn≥2

所以X(n+1)-Xn=(4-(Xn)²)/(2Xn)≤0

所以X(n+1)≤Xn

所以数列{Xn}为单减数列

(2)有界性

单减数列一定有上界，另外上面我们已经证明了对于任意的n

Xn≥2

所以数列{Xn}也有下界

故数列{Xn}也有界

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由(1),(2)的结论可知limXn存在

追问

谢谢，写得很详细