Question

一道极难的高考数学题，求解

个人认为这么高难度的数学题不应该出现在高中的。

已知函数f(x)=log_3 [ (mx^2+8x+n) / (x^2+1) ] （图片如下）的定义域为R，值域为[0,2],求实数m,n的值.
正确答案是m=n=5

Answer 1

设 [ (mx^2+8x+n) / (x^2+1) ] =y

的定义域为R，m>0
用判别根 mx^2+8x+n=y (x^2+1)
整理：

（y-m）x^2-8x+y-n=0
判别根>=0
y^2-(m+n)y+mn-16<=0
值域为[0,2] y=1 y=9

韦达定理 (m+n)=10
mn-16=9
m=5 n=5

追问

还不是正确答案

追答

正确了
打字慢忘了对数函数
不好意思

追问

为什么不讨论(y-m)等不等于零？

追答

问的非常好 ，y=m 为一次函数只有一个解 不会有两个根 直接去掉

追问

你的判别式都写了是>=0,那么就是有解就可以了，为什么一定要两个根？

追答

值域是闭区间，定于域为R 方程一定有根

追问

我明白了

追答

定义域决定值域 y=m 一定函数定义域》=0不能属于R

Answer 2

∵f(x)∈[0,2]
∴(mx^2+8x+n)/x^2+1∈[1,9]
设y=(mx^2+8x+n)/x^2+1,即1<=y<=9
∴（y-m)x^2-8x+（y-n)>=0
因为x∈R 设y-m≠0
∴△=64-4（y-m）（y-n）>=0
y^2-(m+n)y+(mn-16)<=0
由1<=y<=9知，1,9为方程的两根
∴m+n=1+9
mn-16=1*9
∴m=n=5

若y-m=0，即y=m=5时，对应的x=0符合条件

追问

为什么y-m=0时也成立，怎么推这一条的？

Answer 3

看来不是最难的高考题

Answer 4

m=n=5
不懂在线回答 可以追问

追问

我想问，在讨论（y-m）等不等于零的时候，当y-m=0时，后面怎么办？