Question

利用坐标轴平移,化简曲线x^2-4y^2-4x-24y-16=0,并写出曲线的离心率和焦点坐标

Answer 1

x^2-4y^2-4x-24y-16=0
先配方：
(x^2-4x+4)-4(y^2+6y+9)=16+4-36
4(y+3)^2-(x-2)^2=16
(y+3)^2/4-(x-2)^2/16=1
令y+3=y'.x-2=x'
建立新坐标系x'O'y'，
新坐标系下曲线方程为
y'²/4-x'²/16=1
为焦点在y'轴上的双曲线。
a²=4,b²=16,a=2,b=4 ,
c²=a²+b²=20,c=2√5
离心率e=c/a=√5
焦点坐标为(0,-2√5),(0,2√5)

根据x=2+x',y=y'-3得：
在xOy下的焦点坐标为(2,-3-2√5),(2,-3+2√5)

Answer 2

原式
(x-2)^2-4(y+3)^2+32-16=0
4(y+3)^2-(x-2)^2=16
所以此曲线为双曲线4y^2-x^2=16向右平移2个单位再向下平移3个单位得到的
原双曲线的焦点为(0,正负2根号5),离心率为根号5
所以此曲线的焦点为(-3,2加减2根号5)，离心率为根号5
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