Question

圆锥曲线方程的问题

椭圆x²/a²＋y²/b²=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为______.

Answer 1

（根号3）-1
正三角形的边长2c，高为（根号3）c；正三角形的第三个顶点D可以是（0，正负（根号3）c）；我们取D（0，（根号3）c）来讨论；
根据题意，F1D中点E（-c/2，（根号3）c/2）在椭圆上；
所以，[（-c/2）^2]/a^2 + [（根号3）c/2]^2/b^2 = 1
即：（c/a）^2 + 3*(c/b)^2=4 即：e^2+ 3*(c/b)^2=4
所以3*(c/b)^2=4-e^2,
c^2/b^2=(4-e^2)/3
b^2/c^2=3/(4-e^2)
(a^2-c^2)/c^2=3/(4-e^2)
e^(-2)-1=3/(4-e^2)
e^4-8e^2+4=0
e^2=4+2*（根号3）-------------椭圆e小于1，e^2小于1，舍去
或者e^2=4-2*根号3--------符合椭圆
e^2=4-2*根号3=1-2*(根号3)+3=(1-根号3)^2 ； 0小于e小于1，
所以e=（根号3）-1
当D为（0，-（根号3）c），类似上面计算，答案也是一样的。