Question

在周长为定值p的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？

Answer 1

设半径为r，圆心角为a
则C=2r+ra=p
扇形面积S=1/2ar^2=1/2r^2(p/r-2)=-r^2+pr/2
对于二次函数来说
当r=p/4时，扇形面积最大

Answer 2

设扇形半径为r，夹角为θ，则周长p＝2r+rθ；面积S＝0.5*θ*r^2=0.5*(p-2r)*r；
设y＝(p-2r)*r=pr-2r^2，其一阶导数y'=p-4r，显然当r=p/4时，y'=0，即y有最大值，此时扇形面积S也最大。即：r=p/4 , θ=2 时，S=(1/16)*p^2

Answer 3

P/4
设扇形的半径为r,弧长为：P-2r
S=1/2*(P-2r)*r=-r^2+1/2Pr=-(r-P/4)^2+P^2/16
可知：当r=P/4时，扇形的面积有最大值：S＝P^2/16

Answer 4

由S扇=lr/2和C扇=2r+l联立可得，当C扇为定值p时，可得方程：S扇=-r²+1/2pr，所以半径为1/4p时，扇形的面积最大。