Question

一个题目，利用高斯公式计算曲面积分

这个问题，我知道是要补平面。。
但是那个积分区域是什么意思，下半球面的上侧，（圆是实心圆）是指z=0的那个平面的外侧；（圆是空心圆）还是指球面的内侧？？？
顺便说下具体方法，过程也行。非常感谢！！

Answer 1

那个积分区域是指整个球面的下半部分：z ≤ 0。(注意不是球体)，所以是空心圆。

由方程z = - √(1 - x² - y²)可以看出，而上半部分就是z = √(1 - x² - y²)，z ≥ 0

而下半球面的上侧，可以想象你站在一个碗上面，就是上侧的方向了。

当替这个下半球面补上z ≤ 0这个面，相当于补上方向朝下的天花板。这个空间的方向都指向内测。

外侧的话，考虑一块圆球磁铁，若磁铁是N极的话，所有磁线的方向由磁铁中心指向外面

所以下半圆球的外侧，即下侧方向，就是指上侧反转180°的另一个面，就像灯光从圆球里面射出来就是例子了。上侧的话，补的面不是天花板，而是地板了，补z ≥ 0这个面，方向朝上，所以整个封闭空间都指向外侧。就符合运用高斯公式的条件。