Question

过抛物线y²＝4x焦点的直线交抛物线于A,B两点，已知AB=10，O为坐标原点，求三角形OAB的重

过抛物线y²＝4x焦点的直线交抛物线于A,B两点，已知AB=10，O为坐标原点，求三角形OAB的重心的坐标。

Answer 1

焦点为（1，0）
当斜率不存在的时候
那么直线为x=1
此时y=2或-2，AB=4不符合题意，所以斜率不存在
设直线AB：x=ky+1
设A（x1，y1）B（x2，y2）
将x=ky+1代入y²=4x
y²-4ky-4=0
韦达定理
y1+y2=4k
y1y2=-4
AB=√(1+k²)[(y1+y2)²-4y1y2]
AB=10
那么
(1+k²)[16k²+16]=100
(1+k²)²=100/16
k²+1=10/4
k²=3/2
k=±√6/2
y1+y2=±2√6
x1+x2=k(y1+y2)+2=4k²+2=8
所以重心坐标（x，y）
x=(0+x1+x2)/3=8/3
y=(0+y1+y2)/3=±2√6/3