Question

已知a,b,c属于正实数，求证（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）≥abc

Answer 1

郭敦顒回答：
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
若a＝b＝c，则（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）＝abc
命题成立，
当a,b,c不相等时，不妨设
（a，b）＞c=1，则
（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）=（a²b²+b²+a²）/（a+b+1）
abc=
ab，
比较（a²b²+b²+a²）/（a+b+1）与ab的大小，
若a＞b时，不妨设b=1，则
（a²b²+b²+a²）/（a+b+1）=（2a²+1）/（a+2），
ab=a，
比较（a²b²+b²+a²）/（a+b+1）与ab的大小，
等价于比较（2a²+1）与（a²+2a）的大小；
即要比较（a²+1）与2a的大小。
∵（a－1）²＝a²+1－2a，
∴（a－1）²+2a＝a²+1，
∵a＞1，∴（a－1）²＞1，
∴（a²+1）＞2a。
由此上推即证明有
（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）＞abc。于是，
（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）≥abc
证毕。

Answer 2

要证（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）≥abc,假设命题成立，则有
（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）≥abc
a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）=a²bc+ab²c+abc²
两边同时乘以2
2（a²b²+b²c²+c²a²）≥2（a²bc+ab²c+abc²）
2（a²b²+b²c²+c²a²）=a²（b²+c²）+b²（a²+c²）+c²（a²+b²）
≥a²（2bc）+b²（2ac）+c²（2ab）
所以命题成立

Answer 3

要证明不等式
a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
即要证明不等式
a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)≥0
即
2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]≥0
而
2[a²b²+b²c²+c²a²-abc(a+b+c)]
=(a²b²+c²a²-2a²bc)+(a²b²+b²c²-2ab²c)+(b²c²+c²a²-2abc²)
=a²(b-c)²+b²(a-c)²+c²(a-b)²
≥0恒成立
所以不等式a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)
成立
此题得证