Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点P是x轴上的一个动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点P是x轴上的一个动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B.（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A，O，Q，B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

1)

作BC⊥x轴，垂足为C,

因为△AOB为等边三角形

所以OA=OB=4，∠AOB=60

所以∠BOC=30°

在直角三角形OBC中，BC=OB/2=2，

OC=√(OB²-BC²)=√（16-4）=2√3

所以B(2√3，2)

 

2)因为△APQ和△AOB是等边三角形

所以AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB

所以∠PAQ-∠OAQ=∠OAB-∠OAQ

即∠PAO=∠QAB

所以△PAO≌△QAB

所以∠AOP=∠ABQ,

因为∠AOP=90，

所以∠ABQ=90为定值

追问

还有第三问呢?

追答

若∠OQB=90°，因为∠ABQ=90

所以∠OQB=∠ABQ=90，

所以AB∥OQ

所以四边形AOQB是梯形

因为△AOB是等边三角形，∠ABQ=90

所以∠OBQ=30°

因为OB=OA=4，

所以OQ=OB/2=2，

过Q作QD⊥x轴，垂足为D,

∠POQ=∠BOQ-∠BOD=60-30=30°

所以DQ=OQ/2=1，OD=√3

过Q作QE⊥y轴

在直角三角形AQE中，由勾股定理，得，

AQ²=EQ²+²AE²

即AQ²=25+2=27

在直角三角形DPQ中，DP²=27-1=26

所以DP=√26

P(√3-√26,0)