Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从B出发沿BC向C运动，动点Q同时以相同的速度从点C出发沿CD向D运动

（1）设BP=x，当x取何值时△APQ的面积最小，求出最小值；
（2）探究：问△APQ是否能够成直角三角形？若能，请确定点P所有可能的位置；若不能，请说明理由

Answer 1

（1） CQ = BP = X ，△APQ 面积 = 4 × 4 - (AB × BP + PC × CQ + QD × AD) ÷ 2
=16 - [4x + (4 - x) × x + 4 × (4 - x)] ÷ 2
=16 - (16 + 4x - x²) ÷ 2
=(x² - 4x + 16) ÷ 2
=[(x - 2)² + 12] ÷ 2
所以当x = 2 时，面积最小， 为 [(x - 2)² + 12] ÷ 2 = 12÷ 2 = 6
（2）假设当△APQ能够成直角三角形且 AQ 是斜边，那么 AP² + PQ² = AQ²
即 (4² + x²) + [(4 - x)² + x²] = 4² + (4 - x)²
得 3x² - 8x + 32 = x² - 8x +32
得 2x² = 0 ，即 x = 0，
所以假设不成立，△APQ不能够成直角三角形

Answer 2

S△APQ=ABCD面积-S△APB-S△ADQ-S△CPQ=16-4*x/2-4*(4-x)/2-x*(4-x)/2=0.5*x^2-2x+8
=0.5*(x^2-4x+4)+6=0.5*(x-2)^2+6 因此，x=2时最小值=6

2.AP^2=AB^2+BP^2=16+x^2 一式
QP^2=PC^2+QC^2=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16 二式
AQ^2=AD^2+DQ^2=16+(4-x)^2=32+x^2-8x 三式
若是直角三角形则上式中两个之和是另一个
一式+二式=3x^2-8x+32 =三式 解出x=0
一式+三式=2x^2-8x+48 不等于二式
二式+三式=3x^2-16x+48 =二式 解出x=4

Answer 3

解：由题意知BP=CQ=x
所以：S△APQ=16-(1/2)*4x-(1/2)*4(4-x)-(1/2)*(4-x)*x
即：S△APQ=(1/2)x²-2x+8
当x=2时，函数有最小值，最小值为10
能，此时点P与点C重合，点Q与点D重合，△ACD是直角三角形，所以△APQ也是直角三角形。