Question

在△ABC中，(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)，试判断三角形形状

Answer 1

答：

三角形ABC中，(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)
移项合并：[sin(A-B)-sin(A+B)]a²=-[sin(A-B)+sin(A+B)]b²
所以：-2a²cosAsinB=-2b²sinAcosB
根据正弦定理有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以：sin²AcosAsinB=sin²BsinAcosB
因为：sinA>0，sinB>0
所以：sinAcosA=sinBcosB
所以：sin2A=sin2B
所以：2A=2B或者2A+2B=180°
所以：A=B或者A+B=90°
所以：三角形ABC是等腰三角形或者是直角三角形

Answer 2

(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)
(a²+b²)(sinAcosB-cosAsinB)=(a²-b²)(sinAcosB+cosAsinB)
整理，得
a²cosAsinB-b²sinAcosB=0
由正弦定理得
sin²AcosAsinB-sinAsin²BcosB=0
sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
sinAsinB(2sinAcosA-2sinBcosB)=0
sinAsinB[sin(2A)-sin(2B)]=0
A、B为三角形内角，sinA>0，sinB>0
sin(2A)=sin(2B)
2A=2B或2A=π-2B
A=B或A=π/2 -B
三角形为等腰三角形或直角三角形。