Question

已知x,y均为正数,且x+y=1,求1/x+4/y最小值

答案是九

Answer 1

方法一(Cauchy不等式)：
1/x+4/y
＝(x+y)(1/x+4/y)
≥(1+2)²
＝9,
∴(1/x+4/y)|min＝9.

方法二(均值不等式):
1/x+4/y
＝(x+y)(1/x+4/y)
＝1+4x/y+y/x+4
≥5+2√(4x/y·y/x)
＝9,
∴(1/x+4/y)|min＝9.

方法三(权方和不等式):
1²/x+2²/y
≥(1+2)²/(x+y)
＝9,
∴(1/x+4/y)|min＝9。

Answer 2

解答如下：
x+y=1
1/x + 4/y = （x + y）/ x + 4（x + y）/y
= 1 + y/x + 4x/y + 4
≥ 5 + 4 = 9
当且仅当y/x = 4x/y，即x =4/3，y = 8/3时，取到等号

追问

为什么y/x=4x/y就是最小值啊

追答

y/x + 4x/y=(y^2+4x^2)/xy≥4xy/xy=4

y^2+4x^2≥4xy这个你应该知道吧