Question

请问这个级数怎么算？

第10题

Answer 1

解析：级数Σ(n=2…∞){1/[n(n+2)]}的前n项和为
Σ(k=2…n+1){1/[k(K+2)]}
＝(1/2)Σ(k=2…n+1)[1/k-1/(k+2)]
＝(1/2){(1/2-1/4)+(1/3-1/5)
+(1/4-1/6)+(1/5-1/7)
+…+[1/n-1/(n+2)]+[1/(n+1)-1/(n+3)]}
＝(1/2)[1/2+1/3-1/(n+2)-1/(n+3)]
＝5/12-(2n+5)/[(n+2)(n+3)] .

追问

为什么答案是5/12

追答

若答案是5/12，则题目中的“前n项和”应改为“和”，因为当n趋向∞时，(2n+5)/[(n+2)(n+3)]趋向0 .

追问

👌谢谢

Answer 2

1/n(n+2) =(1/2) [1/n - 1/(n+2)]
原级数的前n项和
= (1/2)[1/2+1/3+...+1/(n+1) - 1/4-1/5-...-1/(n+3)]
= (1/2)[1/2+1/3-1/(n+2)-1/(n+3)]
= 5/12 - (2n+5)/[2(n+2)(n+3)]

追问

为什么答案是5/12

追答

n-oo时，该级数 = 5/12。

追问

感觉这概念有点混乱，求无穷级数的前n项和，又把n趋于无穷

追答

这题目问的是前n项和，但上限是->oo。要求你先算出前n项的和，再令n->oo, 得5/12。

Answer 3

1/2(1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+...)=5/12