Question

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，a<x1<x2<…<xn<b,证明：至少存在一点p∈［x1

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，a<x1<x2<…<xn<b,证明：至少存在一点p∈［x1，xn］,使得f（p）=1／n［f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）］

Answer 1

可以考虑介值定理

答案如图所示

Answer 2

根据闭区间上连续函数的中间值定理，闭区间上连续函数一定能取到最大值和最小值之间的任何一个值，由于
min(x∈[a,b]){f(x)}<=1/n (f(x1)+f(x2)+···+f(xn))<=max(x∈[a,b]){f(x)}
所以在[a,b]上有f(t)=1/n *(f(x1)+f(x2)+···+f(xn))成立