Question

求证：(a1+a2+…+an)/n>=(a1*a2*…*an)^(1/n)

Answer 1

用初等知识不好证，你自己尝试用数学归纳法证吧。。
不过用稍微高点的知识，就是凸凹函数，容易证明。
设f(x)=inx（x>1）
f''(x)=-1/x^2<0恒成立。
所以f(x)为(1，+∝）上的凸函数。
所以由凸函数的琴生不等式：
f[(a1+a1+……+an)/n]>=[f(a1)+f(a2)+……+f(an)]/n
也就是
in[(a1+a2+……+an)/n]>=(1/n)[in(a1*a2*……*an）]——(*)
in[(a1+a2+……+an)/n]>=in[n次根号下(a1*a2*……*an）]
去对数。
(a1+a2+……+an)/n>=n次根号下(a1*a2*……*an）
即算术平均数>=几何平均数
至于你推出的结论，在(*)处，运用放缩，当有：
in[(a1+a2+……+an)/n]>=(1/n)[in(a1*a2*……*an)]>=1/2[in(a1*a2*……*an)]
，
显然对于n>2
(1/n)[in(a1*a2*……*an)]>=1/2[in(a1*a2*……*an)]不成立，所以你的结论估计是不正确的啊！

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

题目有问题吧，比如a1=-1,
a2=-2,
a3=3,
n=3
(a1+a2+a3)/n=0<6^(1/3)=(a1a2a3)^(1/n)
如果a1,a2..an>=0
设g(x)=a1+a2+...+an=k,
f(x)=a1a2...an
f(x)最大时，df=mdg
a2a3a4...an=m
a1a3a4...an=m
a1a2a4...an=m
...
a1a2a3...a(n-1)=m
a1+a2+...+an=k
解得a1=a2=...=an=k/n
即a1a2...an<=(k/n)^n
所以(a1a2...an)^(1/n)<=k/n=(a1+a2+...+an)/n