Question

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

证明：（1）在四边形ABCD中，
∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
根据角平分线的定义可知∠CAB=∠CAD=60°．
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°．
∴AB=AD= 1/2AC，
即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．
证明如下：过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠D=180°，
∠ABC+∠CBF=180°，
等量代换得：∠CBF=∠D．
又∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB．
由全等三角形的对应边相等可得：ED=BF．
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．
由（1）知AE+AF=AC．
∴AB+AD=AC．