Question

已知四阶矩阵A=（α1 α2 α3 α4），且他们均为四维列向量，其中α2 α3 α4 线性无关，α1=2α2-α3 如B

Answer 1

我不知道你研几了,多思考哦。线性方程组不好表示,你就将就着看吧:)
解:由
α2,α3,α4
线性无关和
α1
=
2α2
-
α3
+
0α4
,故a的秩序为
3,因此
ax=0
的基础解系中只包含一个向量.
由
α1
-
2α2
+
α3
+
0α4
=
0
,可知
{1
-2
1
0}
为齐次线性方程组
ax=0
的一个解,所以其他通解为
x=k{1
-2
1
0}
k为任意常数.
再由β=α1+α2+α3+α4=
(α1,α2,α3,α4){1
1
1
1}
=a{1
1
1
1}
可知
{1
1
1
1}
为非齐次线性方程组ax=β的一个特解,于是ax=β的通解为
x={1
1
1
1}+
k{1
-2
1
0},其中k为任意常数。
另一种解法是:
令x={x1
x2
x3
x4}
再由ax=β和α1=2α2-α3
得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-x1)α4=0
再由α2,α3,α4线性无关可得方程组
2x1+x2-3=0
-x1+x3=0
x4-1=0
解得此方程组即可

Answer 2

我不知道你研几了，多思考哦。线性方程组不好表示，你就将就着看吧：）
解：由
α2，α3，α4
线性无关和
α1
=
2α2
-
α3
+
0α4
，故A的秩序为
3，因此
Ax=0
的基础解系中只包含一个向量.
由
α1
-
2α2
+
α3
+
0α4
=
0
，可知
{1
-2
1
0}
为齐次线性方程组
Ax=0
的一个解，所以其他通解为
x=k{1
-2
1
0}
k为任意常数.
再由β=α1+α2+α3+α4=
(α1,α2,α3,α4){1
1
1
1}
=A{1
1
1
1}
可知
{1
1
1
1}
为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解为
x={1
1
1
1}+
k{1
-2
1
0},其中k为任意常数。
另一种解法是：
令x={x1
x2
x3
x4}
再由Ax=β和α1=2α2-α3
得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-x1)α4=0
再由α2，α3，α4线性无关可得方程组
2x1+x2-3=0
-x1+x3=0
x4-1=0
解得此方程组即可

Answer 3

解
由α2
α3
α4
线性无关，α1=2α2-α3可知A的秩为3，故AX=0仅有一个无关解，再由α1=2α2-α3，则
α1-2α2+α3+0α4=0
即X=[1,-2,1,0]^T是齐次方程AX=0的解，通解为kX,
k是任意数，
由B=α1+α2+α3+α4
则AX1=b,X1=[1,1,1,1]^T是AX=b的特解，故AX=B的全部解为
kX+X1=k[1,-2,1,0]^T+[1,1,1,1]^T,其中k是任意数.