Question

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．（Ⅰ）求矩阵B，使得A（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）B；（Ⅱ）求矩阵A的特征值；（Ⅲ）求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

Answer 1

（I）
由题意知：
 A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)

1 0 0 1 2 2 1 1 3

，
∴B＝

1 0 0 1 2 2 1 1 3

．

（II）
因为α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，
可知矩阵C=[α₁，α₂，α₃]可逆，
所以：C^-1AC=B，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值，
由：|λE-B|=

.

λ?1 0 0 ?1 λ?2 ?2 ?1 ?1 λ?3

.

=（λ-1）²（λ-4）=0，
得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值分别为：λ₁=λ₂=1，λ₃=4．

（III）
①对应于λ₁=λ₂=1，解齐次线性方程组（E-B）X=0，得基础解系为：
ξ1＝(?1，1，0)T，ξ2＝(?2，0，1)T，
②对应于λ₃=4，解齐次线性方程组（4E-B）X=0，得基础解系为：
ξ3＝(0，1，1)T，
令矩阵：Q＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝

1 ?2 0 1 0 1 0 1 1

，
则：Q^-1BQ=

1 0 0 0 1 0 0 0 4

，
因：Q^-1BQ=Q^-1C^-1ACQ=（CQ）^-1A（CQ），
记矩阵：
P＝CQ＝(α1，α2，α3)

1 ?2 0 1 0 1 0 1 1

=[α₁+α₂，-2α₁+α₃，α₂+α₃]，
则：P为所求的可逆矩阵．

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示