Question

设A是三阶矩阵，α是三维向量，α，Aα，A2α线性无关，且3Aα-2A2α-A3α=0。证明A相似于对角矩阵，并...

设A是三阶矩阵，α是三维向量，α，Aα，A2α线性无关，且3Aα-2A2α-A3α=0。证明A相似于对角矩阵，并求|A+E|

Answer 1

证明: 由已知, A^3α = 3Aα-2A^2α

所以 A(α,Aα,A^2α)=(Aα,A^2α,A^3α) = (Aα,A^2α,3Aα-2A^2α) =(α,Aα,A^2α)B

B=

0 0 0

1 0 3

0 1 -2

由于 α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)^-1A(α,Aα,A^2α)=B, 即 A 与 B 相似

而B的特征值为 0,1,-3

所以 A 的特征值为0,1,-3

3阶矩阵A有3个不同的特征值,故A相似于对角矩阵

又因为 A+E 的特征值为 1,2,-2

所以 |A+E| = 1*2*(-2) = -4

简介

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

Answer 2

证明: 由已知, A^3α = 3Aα-2A^2α
所以 A(α,Aα,A^2α)=(Aα,A^2α,A^3α) = (Aα,A^2α,3Aα-2A^2α) =(α,Aα,A^2α)B
B=
0 0 0
1 0 3
0 1 -2

由于 α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)^-1A(α,Aα,A^2α)=B, 即 A 与 B 相似.
而B的特征值为 0,1,-3
所以 A 的特征值为0,1,-3
3阶矩阵A有3个不同的特征值,故A相似于对角矩阵.
又因为 A+E 的特征值为 1,2,-2
所以 |A+E| = 1*2*(-2) = -4.