Question

已知函数f(x,y)在原点的某个邻域内连续，且lim(x,y)→(0,0) [f(x,y)-xy]/

Answer 1

直观上,
条件说明f(x,y)在原点和xy很接近.
但是原点只是xy的鞍点,
于是原点也不是f(x,y)的极值点.
严格写下来是这样:
∵lim{(x,y)
→
(0,0)}
(f(x,y)-xy)/(x²+y²)²
=
1,
∴对ε
=
1,
存在δ
>
0,
使得当|x|
<
δ,
|y|
<
δ时,
有0
=
1-ε
<
(f(x,y)-xy)/(x²+y²)²
<
1+ε
=
2.
即xy
<
f(x,y)
<
xy+2(x²+y²)²
①.
又由f(x,y)在原点连续,
可得f(0,0)
=
lim{(x,y)
→
(0,0)}
f(x,y)
=
0.
考虑点列(1/n,1/n),
易见n
→
∞时(1/n,1/n)
→
(0,0).
当n
>
1/δ时,
有1/n
<
δ,
代入①的左端得f(1/n,1/n)
>
1/n²
>
0.
因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取正值的点.
再考虑点列(1/n,-1/n),
易见n
→
∞时(1/n,-1/n)
→
(0,0).
当n
>
1/δ且n
>
3时,
有1/n
<
δ,
代入①的右端得f(1/n,-1/n)
<
-1/n²+8/n⁴
=
(8-n²)/n⁴
<
0.
因此在原点的任意邻域内存在使f(x,y)取负值的点.
于是原点不为极值点.