Question

lim(n→∞) (1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]写成定积分的形式

Answer 1

lim(n→∞)
(1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]写成定积分的形式:
　　Lim(n→∞)
(1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]
　　观察：可以看出，实际上就是将区间[0,1]分成n等分，对函数y=sinπx。在每个区间点上求面积，然后求和。
　　很明显，由定积分的定义可知：
　　这和定积分∫sinπxdx
x从0到1是等价的
　　所以
　　Lim(n→∞)
(1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]=∫sinπxdx
　　=-1/πcosπx|0，1
　　=2/π

Answer 2

Lim(n→∞)
(1/n)[sin(π/n)+sin(2π/n)+…+sin(nπ/n)]
观察：可以看出，实际上就是将区间[0,1]分成n等分，对函数y=sinπx。