Question

lim(n)^1/n=1证明

Answer 1

对于任意的ε，
因为(n)^1/n>1，令(n)^1/n=1+b，
则n=〖(1+b)〗^n=1+nb+[n(n-1)/2]b^2+…(二项式展开)
所以当n>3时，
n>1+[n(n-1)/2]b^2，从而可得b<(2/n)^(1/2)
又，
|(n)^1/n-1|=|1+b-1|=b<(2/n)^(1/2)
令(2/n)^(1/2)<ε,得到n>2/(ε^2
)
令N=max{[2/(ε^2)
]+1,3}则，对于任意的ε，总存在N=max{[2/(ε^2)
]+1,3}，
使得当n趋于无穷大时，|(n)^1/n-1|<ε.
得证。