求幂级数∑(∞,n=0)x^n/(n+1)的在其收敛域的和函数
2个回答
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级数∑(∞,n=0)x^n=1/(1-x) |x|<1 积分得：
∑(∞,n=0)x^(n+1)/(n+1)=-ln(1-x),于是：
∑(∞,n=0)x^(n)/(n+1)=-ln(1-x)/x
当x=-1时，级数收敛
lim(x趋于0时)-ln(1-x)/x=1
所以和函数S（x）=∑(∞,n=0)x^(n)/(n+1)=-ln(1-x)/x (-1≤x<0,0<x<1),
S(0)=1
∑(∞,n=0)x^(n+1)/(n+1)=-ln(1-x),于是：
∑(∞,n=0)x^(n)/(n+1)=-ln(1-x)/x
当x=-1时，级数收敛
lim(x趋于0时)-ln(1-x)/x=1
所以和函数S（x）=∑(∞,n=0)x^(n)/(n+1)=-ln(1-x)/x (-1≤x<0,0<x<1),
S(0)=1
追问
收敛域就是【-1，1）吗？
追答
对呀
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