Question

已知函数f(x)=2^(|x-m|)和函数g(x)=xlx-ml+2m-8。1.若m=2,求g(x

)的单调区间。2.若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

当m=2时，g(x)=x|x-2|-4
x≥2时g(x)=x^2-2x-4=(x-1)^2-5，在x≥2上单增；
x<2时g(x)=-x^2+2x-4=-(x-1)^2-3，在(负无穷大,1)上单增，在(1,2)上单减。
所以g(x)单增区间为(负无穷大,1)和(2,正无穷大)，单减区间为(1,2)

要使2lx1-ml=x2lx2-ml+2m-8，x1∈（-∞，4]，x2∈[4,+∞)
当m>4时，x1-m<0，
所以=2m-2x1∈[2m-8,+∞),
而m>4，当x2=m时，x2lx2-ml=0，
所以x2lx2-ml+2m-8∈[2m-8,+∞),
f(x1)和g(x2)值域相同，所以当m>4时，f(x1)=g(x2)可以成立，
当m<4时，2lx1-ml∈[0，+∞），（x1=m时等于0）
x2-m恒大于0，所以g(x2)=x2lx2-ml+2m-8=x2^2-mx2+2m-8,
△＝b^2-4ac=m^2-8m+32=(m-4)^2+16>0,
所以g(x2)有2个零点，
要使g(x2)在[4,+∞)的值域包含[0，+∞）,则右零点必须在x=4的右侧，
(m+√m^2-8m+32)/2>4
√m^2-8m+32>8-m
m^2-8m+32>m^2-16m+64
m>4
两种情况结果相同，所以解m∈[4,+∞)