Question

2013.06.16数学题【要过程】

1. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
【第一题的区间是（0，+∞）】！！！

Answer 1

1. 区间应该是（0，+∞）吧

   选B

   偶函数：B，C，D

   5^|x|在 （0，+∞)上就是 5^x 这个是单增函数是吧，加个负号，沿x轴翻折就好了，是单调递减的

2. 
   

3. 

分析如下： 

①第一步： 
∵两坐标轴是互相垂直的 
∴夹在两坐标轴之间的线段长是4√3／3，亦即：直角三角形的斜边长是4√3／3 
∴只要找出直角三角形直角边和斜边的数量关系，即可求出直线的方程 
②第二步： 
题目给的又一个条件告诉：所求直线与已知圆相切，那么，根据直线与圆相切的性质可知： 
圆心到切点的线段把这个直角三角形分成三个相似的直角三角形 

解答如下： 
设：圆C：X²+Y²=1----圆心C(0,0),半径1； 
设：直线与圆相切于点P（P在圆上，P也在直线上） 
设：直线交X轴正半轴于点A（a,0)；交Y轴正半轴于点B(0,b) 
则有：AP+BP=AB=4√3／3；AP×BP=OP²=1 
解得：3BP²-4√3BP+3=0 
（√3BP-1)(√3BP-3)=0 
∴BP=√3／3,或BP=√3 
∴AP=√3，或AP=√3／3 
∴直线斜率k=-tan∠BAO=-(OP∶AP)=-(1∶√3)=-√3／3 
∴∠BAO=150°===＞sin150°=sin30°=OP∶OA===＞OA=a=2 
∴点A(2,0) 
或直线斜率k=-tan∠BAO=-(OP∶AP)=-(1∶(√3／3))=-√3 
∴∠BAO=120°===＞sin120°=sin60°=OP∶OA===＞ 
OA=a=(2√3)／3,∴点A(2√3,0) 
∴由点斜式写出直线的方程有两条： 
①Y=-√3／3（X-2）===＞√3X+3Y-2√3=0 
②Y=-√3(X-2√3／3)===＞3√3X-3Y-6=0 

追问

第一题，你是怎么判断奇偶性和单调性的？

追答

奇偶性
先看定义域是否关于原点对称
如果不是关于原点对称，则函数没有奇偶性

若定义域关于原点对称
则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数
f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数
单调性
5^x单调递增是指数函数的性质
http://baike.baidu.com/view/331648.htm

追问

你用题目中的选项举个例子吧

追答

就用B,定义域为R，定义域关于原点对称

f(-x)=-5^|-x|=-5^|x|=f(x)

所以f(x)是偶函数

Answer 2

请给出区间，偶函数图像关于y轴对称，如果不给出区间是不能判断单调性

追问

【第一题的区间是（0，+∞）】！！！

追答

选B，判断奇偶性就把x和–x带入，若相等则偶函数，若互为相反数，则奇函数，再个要求定义域是对称的，至于单调性就求导吧，导数在区间内恒小于零，单减，恒大于零，单增，因此选B 手机打字不方便，希望你懂

追问

那你为什么不用电脑？
还有，第二题呢？