Question

2013.05.23数学题【求过程】

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Answer 1

1、设正方形边长为1，过E点做FG//CD,交AD于F，交BC于G
因为正方形ABCD中，CD与AB垂直
∴EF和FG分别是∆AED和∆BCE的高,FG=CD=1
∵∆BCE为正三角形
∴BC=BE=CE=1
∠EBC=∠ECB=60
EG=ECsin∠ECBasin60=√3/2
EF=FG-EG=1-√3/2=（2-√3）/2
在∆DCE中，
CD=1，CE=1
∠ECD=30
由余弦定理得ED^2=CD^2+CE^2-2*CD*CE*cos∠ECD=1^2+1^2-2*1*1*cos30=2-√3
ED=√(2-√3）
sin∠ADE=EF/ED=[（2-√3）/2]/[√(2-√3)]=√(2-√3)/2=(√6-√2)/4
实际上∠ADE=15
2、连接MN、BD
由M\N分别是三等分点得
MN//BD
设正方形边长为1，则对角线BD=√2,BM=DN=1/3
MN/BD=CM/BC=CM/(CM+BM)=2/3
∴MN=2/3*BD=2√2/3
RT∆ABM中,AM=√(AB^2+BM^2)=√10/3
同理得，AN=√10/3
∆AMN中，由余弦定理得
MN^2=AM^2+AN^2-2*AM*AN*cos∠MAN=10/9+10/9-2×10/9cos∠MAN=8/9
cos∠MAN=3/5
sin∠MAN=√(1-cos∠MAN^2)=4/5

Answer 2

追问

第一题你的答案和我的答案有点出入。

追答

我也发现了，可是不知道为什么

Answer 3

解1 ：
因为，三角形BCE为正三角形，
所以，角ECB=60度，所以，角DCE=30度，
由题意我们知道，三角形CDE也为正三角形，所以角AEC=90度-角CDE(75度)
要求sin（角ADE）=sin15度，如果记住了15度的函数值就是最好的，比如，
cos15度=（根号6+根号2）/4，tan，和cot，可以以此类推，
sin15=sin(45度-30度)
化简的sin15度=（根号6-根号2）/4，
解2：
由题值三角形AMN为等腰三角形，设正方形的边长为3，
所以计算得到AN=AM=根号10，AN=2倍根号2，
由余弦定理的cos∠NAM=(AN^2+AM^2-MN^2)/2 AN.AM=3/5
所以sin∠NAM=1-cos^2∠NAM=4/5 .

追问

计算得到AN=根号10，AN=2倍根号2？？？哪条边是2倍根号2？

Answer 4

1.由于BCE为正三角形，所以角EBC为60°，BE=BC,又ABCD为正方形，所以，角ECD=30°，EC=DC,所以，△ECD为等腰△，顾，∠CDE=75°，∠EDA=15°，所以sin∠ADE=sin15°=结果。
2.作辅助线，连接NM，AC，设焦点为O，由已知M,N分别为DC和BC的三等分点，ABCD为正方形，所以，AM=AN，△AMN为等腰△，所以AC⊥MN，AC平分∠NAM.顾，NOC为等腰直角三角形，设DN=1，则AD=3，NC=2,因为NOC为等腰直角三角形，所以，NO=根号2，在三角形AND中，易求得AN=根号10，所以在直角三角形AON中，sin∠NAO=五分之根号五，由sin∠NAM=2sin∠NAO*cos∠NAO得，sin∠NAM=五分之四

Answer 5

答：
（1）过点E作直线垂直BC交BC于点F，交AD于点G，设正方形边长为a：
EF=√3a/2，EG=a-√3a/2，DG=a/2
所以：sin∠ADE=（a-√3a/2)/√[(a/2)^2+(a-√3a/2)^2]=√(2-√3)/2=(√3-1)/2√2=(√6-√2)/4
所以：sin∠ADE=(√6-√2)/4

（2）∠BAM=∠DAN=（90°-θ）/2
AB=BC=3a，BM=a，AM=√[(3a)^2+a^2]=√10a
sin∠BAM=BM/AM=1/√10=[sin(90°-θ)/2]
所以：sinθ=cos(90°-θ)=1-2[sin(90°-θ)/2]^2=1-2*(1/√10)^2=4/5
所以：sinθ=4/5