Question

如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（-3 3，1）、C（-3 3，0）、O（0，0）．

将此矩形沿着过E（- 3，1）、F（- 433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）由于折痕所在直线EF过E（- 3，1）、F（- 4 33，0），则有：
∴设直线EF的解析式为y=kx+b，
∴ 1=- 3k+b0=- 4 33k+b；
解得k= 3，b=4，
所以直线EF的解析式为：y= 3x+4．

（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B′（x1，y1），C′（x2，y2）；
过B′作B′A′⊥AE交AE所在直线于A′点；
∵B′E=BE=2 3，∠B′EF=∠BEF=60°，
∴∠B′EA′=60°，
∴A′E= 3，B′A′=3；
∴A与A′重合，B′在y轴上；
∴x1=0，y1=-2，
即B′（0，-2）；【此时需说明B′（x1，y1）在y轴上】．
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，抛物线过B（-3 3，1）、E（- 3，1）、B′（0，-2）；
得到 c=-23a- 3b+c=127a-3 3b+c=1，
解得 a=- 13b=- 433c=-2
∴该二次函数解析式y=- 13x2- 4 33x-2；

（3）能，可以在直线EF上找到P点；
连接B′C交EF于P点，再连接BP；
由于B′P=BP，此时点P与C、B′在一条直线上，故BP+PC=B′P+PC的和最小；
由于BC为定长，所以满足△PBC周长最小；
设直线B′C的解析式为：y=kx+b，则有：
-2=b0=-3 3k+b，
解得 k=- 2 39b=-2；
∴直线B′C的解析式为：y=- 2 39x-2；
又∵P为直线B′C和直线EF的交点，
∴ y=- 2 39x-2y= 3x+4，
解得 x=- 18113y=- 1011；
∴点P的坐标为（- 18 311，- 1011）．